Метод Гаусса используется для решения СЛАУ. В этом случае постановка задачи выглядит следующим образом:

Тогда под задачей решения системы линейных уравнений для заданных матрицы А и вектора b понимается нахождение значения вектора неизвестных x, при котором выполняются все уравнения системы.

Основная идея метода –приведение матрицы А посредством эквивалентных преобразований к треугольному виду, после чего значения искомых неизвестных могут быть получены непосредственно в явном виде. Существует 3 эквивалентных преобразования:

1.       Умножение любого из уравнений на ненулевую константу

2.       Перестановка уравнений

3.       Прибавление к уравнению любого другого уравнения системы.

Метод можно разделить на 2 этапа:

·         Прямой ход метода Гаусса - Исходная система линейных уравнений приводится к верхнетреугольному виду путем последовательного исключения неизвестных.

На итерации i происходит исключение i-й неизвестной из уравнений с номерами k, больших i. Для этого из этих уравнений осуществляется вычитание строки i умноженной на a[k,i]/a[i,i] с тем, чтобы рещультирующий коэффициент при i-й неизвестной в соответствующих строках оказался нулевым.

Вычисления производятся при помощи соотношений:

·         Обратный ход метода Гаусса - Определяется значение неизвестных.

После приведения матрицы коэффициентов к верхнетреугольному виду становится возможным определение значений неизвестных:

·         Из последнего уравнения системы может быть получено значение x[n-1]

·         Из препоследнего уравнения с использованием значения x[n-1] может быть получено значение x[n-2] и т.д.

Таким образом могут быть получены значения всех неизвестных. При вычислениях используются общие формулы: